Vytisknout

E=m*c^2

Hodnocení uživatelů:  / 4
NejhoršíNejlepší 

 

Na Světě v průběhu století vzniklo mnoho zákonů, rovnic, objevů. Když se zeptáme, která kniha je na Světě nejznámější, jistě dostaneme v naší Evropské kultuře odpověď BIBLE. Naše kultura je postavená na křesťanství, které ji významně během věků determinovalo. Co se ale stane, když se zeptáme na nejznámější rovnici fyziky? Kdybychom zaznamenávali četnost odpovědí, zřejmě by na stupních vítězů stanuly

1. Einsteinova ekvivalence energie a hmoty

2. Maxwellovy rovnice

3. Druhý Newtonův zákon

Ovšem jak se k těmto vztahům došlo. Cesta to byla jistě spletitá. V tomto článku se budeme věnovat odvození té prvně jmenované. Vezmeme si na pomoc zákon třetí v pořadí a taky jeden ze vztahů popisujících Lorenzovu transformaci. Nebude to dlouho trvat, slibuji. Pojďme tedy do toho.

 dE_{\text{k}} = dW = F ds = F v\,dt [1]
 

Právě jsme zapsali ekvivalenci kinetické energie a práce, která se rovná síle působící po dráze. No a dráha se rovná rychlost krát čas. Potud vše jasné, pojďme využít trochu ze slíbeného Newtona.

 

F=\frac{dp}{dt}=\frac{d(mv)}{dt} [2]
 

 

Po dosazení [2] do [1] dostaneme:

 

dE_{\text{k}}=\frac{dp}{dt}v\,dt=v\,dp=v\,d(mv) [3]
 

 

Po integraci pak:

 

\int_{m_{0}}^{m}E_{k}=\int_{m_{0}}^{m}v\,d(mv)=\int_{m_{0}}^{m}v(v\,dm+m\,dv)=\int_{m_{0}}^{m}(v^{2}\,dm+vm\,dv) [4]
 

 

 Nyní je třeba využít Lorenzovi transformace. Dilatace času je všem známý pojem a stejné logiky lze využít i u kontrakce délek (příčných rozměrů) a změny hmotnosti. To posledně jmenované je využitelné pro naše odvození.

 

m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} [5]
 

 

kde po úpravách dostáváme:

 

m^{2}=\frac{m_{0}^{2}}{{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} [6]
 

m^{2}(c^{2}-v^{2})=m_{0}^{2}c^{2} [7]
 

 

 Zkusme nyní zderivovat proměnné podle toho, co jim přísluší. Derivace konstanty, což je v našem případě rychlost světla "c", bude samozřejmě nulová.

 

2m\,dm(c^{2}-v^{2})+m^{2}(-2v\,dv)=0 [8]
 

dm(c^{2}-v^{2})=m\,vdv [9]
 

 

Když získaný výraz dosadíme do rovnice [4], pak už jen krůček zbývá k dosažení Bible fyziky:

 

E_{k}=\int_{m_{0}}^{m}(v^{2}\,dm+dm(c^{2}-v^{2})=\int_{m_{0}}^{m}(v^{2}\,dm+c^{2}\,dm-v^{2}\,dm)=\int_{m_{0}}^{m}c^{2}\,dm=c^{2}\int_{m_{0}}^{m}dm=c^{2}[m]_{m_{0}}^{m}=c^{2}(m-m_{0}) [10]
 

 

E_{k}=mc^{2}-m_{0}c^{2} [11]
 

 

Celková energie je součtem energie kinetické a energie klidové:

 

E=E_{k}+E_{0}=mc^{2}-m_{0}c^{2}+m_{0}c^{2}=mc^{2} [12]
 

 

Dosáhli jsme toho, co jsme si předsevzali. Mnoho z čtenářů ale může vznést polemiku založené na tom, kam se ztratilo pravidlo platné při odmocňování (viz vztah [6]). Dort jsme snědli, pojďme si tedy na závěr pochutnat na zbylé třešince.

Přestože Einstein dobře ovládal matematiku, byl to především fyzik, a tak vás možná překvapí, že rovnice E = mc2 není ve skutečnosti zcela správně. Podívejte se na operaci s odmocninami a představte si, že máte neznámou, označme ji třeba x, a ta se rovná odmocnině ze čtyř. Vaše odpověď asi bude znít, že x je rovno dvěma. To je ale pouze jedno řešení. Může to být i mínus dvě, takže správný zápis by měl být E = ±mc2

Dodatečné znaménko mínus se dá vysvětlit existencí antihmoty. Každá částice má svůj protějšek, který má stejnou hmotnost, ale ostatní charakteristiky mají opačné znaménko (například antičásticemi elektronu, neutronu a protonu jsou pozitron, antiproton a antineutron). V tuto chvíli nás nějaká antihmota nemusí vůbec zajímat, nicméně až budete číst o Velkém třesku a černých dírách, bylo by dobré o ní něco vědět. Jak už jste si asi všimli, náš vesmír se evidentně skládá pouze z hmoty, tak si možná kladete otázku: "Kam se, sakra, poděla ta antihmota?" Pokud se srazí hmota s antihmotou, dojde k anihilaci - částice i antičástice zcela zaniknou a hmota se tak přemění v energii (vzniknou též další typy částic a antičástic). (Stephen Hawking dokonce varoval, že kdybyste náhodou potkali svého "antipartnera", tak mu raději nepodávejte ruku, protože byste okamžitě oba zanikly.) Na počátku vesmíru existovalo přibližně stejné množství hmoty a antihmoty, které se navzájem neustále sráželo. Protože ale nic není dokonalé, tak hmoty bylo ve skutečnosti trošku více než antihmoty, a to vedlo k tomu, že antihmota zkrátka zanikla a zbyla jen hmota, která tvoří vše kolem nás - od stromů, planet až ke galaxiím.

D.T.

Uživatelské menu